小学一年级数学教学9：两位数加减法（进位借位）
文 | 谆仪
上一篇文章我们详细介绍了如何进行两位数的加减法（不进位）的教学，通过列出竖式帮助孩子更快的学习如何进行两位数的计算。在孩子学会进行两位数的计算程序后，即同位数的加或减，我们就可以教导孩子通过类似的方法来进行进位的加法或借位的减法的运算了。
通过前面的教学，孩子对于两位数的计算过程应该已经能够熟练掌握，因此这个阶段的重点是教导孩子如何在（1）个位数相加超过十的情况下进位到十位数；或（2）在被减数的个位数小于减数的个位数时向十位数借位，并能进行三个数字的连加连减。因此，三位连加连减是要进行这个训练的另一个需要孩子已经熟练掌握的技能。三位连加连减的训练方法，请参见【小学一年级数学教学7】。
说明：因为我们所推荐的教学程序是递进关系的，所以如果您直接阅读了这篇文章，在参考之前，建议您先阅读一下【小学一年级数学教学8：两位数加减法（不进位）】，以确保您使用的方法与我们建议的是一致的。
教学目标：两位数进位加法
目标行为：
当孩子看到一道两位数加法的数学题，比如：36+16=（），孩子能够通过列竖式的方法，正确完成进位的计算，并将最终的结果填定在等式中的正确位置。
训练程序
1. 与孩子坐在桌前，给出一道两位数的加法（一张纸上一道题），如36+16=（ ）
2. 已经完成上一阶段的训练，孩子应该能独立正确列出竖式，如下图：
3. 计算个位数，得出两位数的结果。提示孩子将十位数的1写在数在十位竖式第二个数的右下面，然后再将个位得数写在再到横线下的个位数位置。然后再计算十位数，在孩子完成十位数的两个数相加后，提示孩子还需要加上进位的1，三位连加后，将得数写在横线十位数的位置。如下图所示：
※ 在一开始的时候，如果孩子不记得在哪里记进位的“1”，家长可以在进位的位置画小框或横线提示位置，等孩子熟练的进位时再撤销。
※ 在写个位数的两个数字时，一定要求孩子先写进位的1，然后再去写个位数。孩子在书写的时候，口中所念的应该是“十二”，在念“十”时，将1写在进位位置；在念“二”时，将2写在个位答案位置。养成这个习惯，能确保孩子在未来计算时记得记录进位的1。
※ 在这个阶段训练的时候，建议十位数的数字暂时不进位。当你完成本阶段的训练，在进行多位数的连加进位训练时，再加入这个元素。这个部分需要教导孩子“在最高位数时，进位的数字不再写在横线上方，而是写在答案的最前面”。
4. 孩子将得数写在算式的相应位置，如：36+16=（52）
5. 家长夸奖孩子做对了，然后给出下一道题。
6. 每次练习5-10道题，以孩子不出现挑战性的逃避行为为准，当孩子完成约定数量的练习题后，给予强化物（如，孩子偏好的活动）。
辅助与辅助撤销：
这个训练的目标是教给孩子多位数计算的规则以及方法，包括四个步骤：
（1）列竖式；
（2）算出个位上的得数，并填写到相应的正确位置；
（3）将十位数上的三位数进行连加后填写十位数上的答案；
（4）最后将答案填写到题目中。在教导的过程中，家长仅在新技能的第二步与第三步上给予辅助，其余的步骤尽量让孩子自己去完成。
训练过程中，我们还是会使用视觉辅助（即，画格子或横线提示进位位置）、语言辅助（即，家长告诉孩子步骤和规则）、和手势辅助（即，用手指孩子需要关注的位置），具体操作示范如下：
在进行几道题的训练后，家长就可以开始逐渐撤销辅助，先撤销第二步中的视觉提示，然后逐渐撤销口语与手势（可以同步，尽量先撤销口语），到最后完全不给予辅助。
教学目标：两位数借位减法
目标行为：
当孩子看到一道两位数加法的数学题，比如：62-37=（），孩子能够通过列竖式的方法，正确完成借位的计算，并将最终的结果填定在等式中的正确位置。
训练程序：
借位的训练程序与加法进位相同，只是记录借位的方式可以有几种不同的选择，如下图所示。几种方法各有优缺点，家长可以根据（1）孩子的学习特点与能力；以及（2）学校教导的方法，选择其中的一种进行教学。
（1）与进位加法相同，将1记录在十位数的最下方：
优势：与进位加法的记录方法相同，方便教导
缺点：12不直观，并且需要孩子时刻关注题目是加法还是减法
（2）将1记录在第1个数（即借位的那个数的右下方）
优势：12相对直观，方便孩子理解
缺点：与进位加法的记录方法不同但十分类似，教导初期孩子有可能会将两者混淆
（3） 在借位的那个数的上方打一个点
优势：记录方法与进位加法完全不同，在掌握两种记录方法后，在计算时有助于帮助孩子区分加减法
缺点：12不直观，并且因为没有出现数字1，在做连减时，孩子有时会忘记
训练程序范例
维持与泛化：
※ 当孩子掌握了两位数进位/借位加减法的计算时，家长就可以让孩子练习多位数的加减法。
o 最高位数的加法需要进位时，教导孩子正确书写答案的方式。
o 在多位数的练习时，并不需要每个位数都进行进位和借位的计算，而是穿插在其中
※ 对于能力好的孩子，家长也可以尝试要求孩子不写竖式，直接在横式的题目中通过相同位数的数字相加减来得出计算结果。
o 为了区分加减法，可以将进位的1写在相应位数的数字的右下角，而将借位的1写在相应位数的右上角，或在借位的位数上打点。
o 在做借位减法的计算时，凡是出现被借位，要求孩子先减掉借位的1，然后再去减后面相应位数的数字，以免孩子忘记。